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? s ：三角形的半周长，即 s = \frac{a + b + c}{2} （ a, b, c 为三角形三边）。

? 面积：三角形的面积，可通过多种方法计算（如底乘高、海伦公式等）。

? 公式推导：

内切圆与三角形三边相切，圆心到各边的距离均为 r 。三角形面积可分解为三个小三角形面积之和：

\text{面积} = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot s \implies r = \frac{\text{面积}}{s}.

? 适用场景：

已知三角形三边或面积时，可计算内切圆半径。

三、补充说明

1. 外接圆半径的其他公式：

? R = \frac{abc}{4 \cdot \text{面积}} （结合海伦公式计算面积）。

2. 内切圆半径的其他公式：

? r = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}} （海伦公式变形）。

3. 半周长的意义：

半周长 s 是三角形三边的平均值，常用于简化面积和内切圆相关公式的表达。

四、示例

? 外接圆半径：

若三角形边长 a = 6 ，对角 A = 60^\circ ，则 R = \frac{6}{2\sin 60^\circ} = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} 。

? 内切圆半径：

若三角形三边为 3, 4, 5 ，则 s = \frac{3+4+5}{2} = 6 ，面积 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 ，故 r = \frac{6}{6} = 1 。

理解这些公式的指标含义后，可快速解决三角形与圆相关的几何问题。秘密（约4500字）

一个傍晚，吴叶和李艺琳悄悄跟在林梦身后，来到了废弃仓库。仓库的门半掩着，里面透出微弱的灯光。他们小心翼翼地靠近，从门缝中看到林梦正对着一面墙发呆，墙上画满了各种蝴蝶图案，还有一些复杂的线条，像是某种神秘的仪式符号。

林梦嘴里念念有词，吴叶和李

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